Gimnazija Koper
1. V funkciji f(x) = x2+A x2+B je konstanta A enaka abscisi, B pa ordinati točke M, v kateri ima funkcija y = 2x2 + 12x + 19 svoj minimum.
a) določi konstanti A in B,
b) načrtaj graf f(x) s pomočjo ničel, asimptot in ekstremov!
Izbrana: | Info
2. Načrtaj krivulji x2 = (y + 1) 4 in x2 = 16(y 4)
a) dokaži, da se sekata pod pravim kotom,
b) izračunaj ploščino lika, ki ga krivulji omejujeta.
Izbrana: | Info
3. Parametrična izražava enačbe neke krivulje se glasi: x = 8cos2t y = 4sin2t. Eliminiraj iz obeh enačb parameter t in ugotovi kakšno krivuljo predstavlja kvadratna forma, ki jo na ta način dobiš.
Izbrana: | Info
4. Če sta dve števili prva člena nekega aritmetičnega zaporedja, je razlika med četrtim in drugim členom tega zaporedja 2. Če pa isti števili smatramo za prva člena geometrijskega zaporedja, je razlika med četrtim in drugim členom tega geometrijskega zaporedja 6. Določi števili in obe zaporedji!
Izbrana: | Info
5. Katera vsota, ki se 10 let obrestuje pri polletnem pripisu po 4%, naraste na isto vrednost kot kapital 14000 SIT v istem času, če se mu 5% obresti pripisuje letno?
Izbrana: | Info
6. Trikotnik a = 12, b = 8, γ = 30o se zavrti okoli stranice a. Izračunaj površino nastale vrtenine!
Izbrana: | Info
7. Svetlobni žarek se širi v smeri naraščanja premice x 2y + 5 = 0, proti premici 3x 2y + 7 = 0, kjer se odbije. Določi enačbo odbitega žarka!
Izbrana: | Info
8. Polara krožnice x2 + y2 + 6x 4y 12 = 0 je premica x y + 3 = 0. Določi pol, ki ji pripada in kot pod katerim vidimo krožnico iz pola.
Izbrana: | Info
9. Na bregu reke izmerimo daljico AB = a ter zorna kota BAC = α in ABC = β, pri čemer je točka C na drugem bregu reke. Izrazi širino reke s podatki: a, α, β!
Izbrana: | Info
10. Osnovnici tangentnega enakokrakega trapeza merita a = 9 cm, c = 4 cm.
a) Pokaži, da je krak tega trapeza aritmetična, višina pa geometrična sredina njegovih osnovnic!
b) Konstruiraj ta trapez v zmanjšanem merilu 1 : 2 iz njegovih osnovnic in polmera včrtane krožnice!
c) Pokaži, da daljica DC, kjer C pomeni pravokotno projekcijo oglišča C na osnovnico a, razpolavlja trapez!
d) Izračunaj površino in prostornino vrtenine, ki jo dobiš z vrtenjem tega trapeza okrog osi vzdolž krajše osnovnice!
Izbrana: | Info
11. Dan je polinom p(x) = 5x5 + 13x4 20x3 10x2 + 14x 3.
a) Določi vse ničle polinoma. Upoštevaj, da ima ta polinom tri cele in dve racionalni ničli!
b) Določi predznak tega polinoma v intervalih, ki jih določajo te ničle!
c) Cele ničle tega polinoma so členi padajočega aritmetičnega zaporedja. Izračunaj vsoto 10 členov tega zaporedja!
d) Spremeni manjšo racionalno ničlo tega polinoma tako, da dobiš z negativnima celima ničlama tega polinoma rastoče geometrijsko zaporedje. Določi limito vsote tega zaporedja, če število členov zaporedja raste čez vse meje!
Izbrana: | Info
12. Elipsa je v središčni legi z osmi na koordinatnih oseh.
a) Zapiši enačbo elipse, če je a = 5 ter e = 19. Načrtaj to elipso!
b) Pokaži, da se iz točke T(0,9) ta elipsa vidi pod zornim kotom 60o!
c) Zornemu kotu včrtam krožnico nad abscisno osjo tako, da se hkrati dotika tudi elipse. Določi koordinati središča te krožnice in njen polmer!
Izbrana: | Info
13. Dana sta polinoma: p1(x) = 2x3 + 2x2 32x 32 in p2(x) = (x 3)2 (x 5)2
a) okrajšaj ulomek f(x) = p1(x) p2(x)
b) določi enačbe tangent v ničlah gornje funkcije f(x) ter določi kot med tema tangentama.
Izbrana: | Info
14. Dana je enačba krožnice K, x2 + y2 4x 40y + 9 = 0, ter točka P(8,3) zunaj nje. Določi enačbo krožnice K1, ki gre skozi središče S krožnice K ter točko P, središče pa ima v razpolovišču daljice PS¯. V presečiščih krožnic K in K1 potegni tangenti t1 in t2 na krožnico K. Dokaži da velja relacija t1 t2 = P(8,3). Kaj je točka P za krog K?
Izbrana: | Info
15. Tri števila so členi aritmetičnega zaporedja z vsoto 15. Če vsakemu številu po vrsti prištejemo 1, 4, 19 (prvemu 1, drugemu 4, tretjemu 19) postane zaporedje geometrijsko. Katera števila so to?
Izbrana: | Info
16. Določi prostornino vrtenine, ki nastane z rotacijo lika med krivuljama y2 = 9 2x in 3x2 + 4y2 = 48!
Izbrana: | Info
17. Nad stranica pravokotno enakokrakega trikotnika s krakom a, konstruiraj na zunanji strani kvadrate. Določi ploščino trikotnika, ki ima za oglišča središča konstruiranih kvadratov!
Izbrana: | Info
18. Pokončna kvadratna piramida ima diagonalo osnovne ploskve d = 22 in kot med višino in stransko ploskvijo α = 30o. Določi prostornino in površino tej piramidi včrtanega stožca!
Izbrana: | Info
19. Določi naravno število n v izrazu 23 + 1 33 n tako, da bo razmerje med sedmim členom od začetka proti sedmem členu od konca enako 1 6.
Izbrana: | Info
20. Tangente parabole y2 = 4x potegnjene v točkah T1(1,2), T2(1,2), T3(9,6) tvorijo trikotnik ABC:
a) dokaži, da je ta trikotnik pravokoten,
b) izračunaj obseg in ploščino trikotnika ABC,
c) določi enačbo temu trikotniku očrtane krožnice!
Izbrana: | Info
21. Diferenca aritmetičnega zaporedja je koren enačbe: a2x ax13 = ax3. Vsota tretjega in četrtega člena je 51. Koliko členov tega zaporedja je treba sešteti, da bi bila vsota 120?
Izbrana: | Info
22. Izračunaj prostornino vrtenine, ki nastane, ko zavrtimo za 360o okoli osi x lik, ki ga omejujejo krivulja y = cosx in premici y = 2 πx + 1 in x + π 2 = 0.
Izbrana: | Info