Gimnazija Kranj
1. Dani sta krivulji:
x2 + y2 2x + 4y = 0
x2 + 2y2 6x + 8y + 8 = 0 a) Načrtaj graf.
b) Določi presečišči obeh funkcij
c) Napiši enačbo premice, ki gre skozi skupno ničlo obeh krivulj in središče krožnice.
d) Določi ploščino trikotnika, ki ga ta premica oklepa s koordinatnima osema.
Izbrana: | Info
2. Poišči aritmetično in geometrijsko zaporedje, če ves, da sta prva člena obeh zaporedij enaka, vsota prvih dveh členov aritmetičnega zaporedja je za trikratni prvi člen večja od vsote prvih dveh členov geometrijskega zaporedja, vsoti prvih treh členov obeh zaporedij pa sta enaki!
Izbrana: | Info
3. Sinusi trikotnikov notranjih kotov so v razmerju 5 : 7 : 8, ploščina meri 903 cm 2. Pod kakšnim kotom vidimo srednjo stranico trikotnika iz središča očrtanega kroga?
Izbrana: | Info
4. Imamo funkcijo y = 2x3 + 3x2 12x 9:
a) poišči ekstreme in določi najmanjšo ničlo,
b) oba ekstrema in najmanjša ničla so oglišča nekega trikotnika. Poišči njegovo ploščino in izračunaj najmanjši kot tega trikotnika!
Izbrana: | Info
5. Polinom y = x3 + ax2 + bx + c ima ničlo x = 1 in ekstremno vrednost 4 pri x = 1. a) Določi koeficiente a,b,c in načrtaj graf polinoma!
b) V presečiščih graf polinoma s koordinatnima osema postavi tangenti in napiši njuni enačbi!
c) Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga tangenti, oklepata z abscisno osjo!
d) Izračuna ploščino lika, ki ga omejujeta graf polinoma in premica skozi najmanjšo ničlo in presečišče grafa polinoma z ordinatno osjo!
Izbrana: | Info
6. Vsota treh naravnih števil je 50. Če prvo število zmanjšaš za 2 dobiš aritmetično zaporedje. Če nato zadnji člen povečaš za 9, prvega pa zmanjšaš za sedmino razlike aritmetičnega zaporedja, dobiš geometrijsko zaporedje. Zapiši obe zaporedji!
Izbrana: | Info
7. V trapezu ABCD s krakoma b = 105 cm, d = 88 cm, se podaljška krakov sekata pravokotno v točki E.
a) Razreši trapez, če je višina trikotnika ABE trikrat večja ov višine trikotnika DCE.
b) Izračunaj razmerje med ploščinama trikotnikov ABE in DCE.
Izbrana: | Info
8. Dan je enakostranični trikotnik ABC s stranico a. Na stranici AB je točka D, tako da je dolžina BD enaka x. Iz D načrtaj pravokotnico DE na stranico BC, nato iz E pravokotnico EF na stranico AC in še pravokotnico FG na AB:
a) izračunaj ploščino štirikotnika DEFG v odvisnosti od a in x,
b) pri kateri legi točke D ima štirikotnika DEFG največjo ploščino?
Izbrana: | Info
9. V aritmetičnem in geometrijskem zaporedju se ujemajo prvi, drugi in četrti člen, tretji člen aritmetičnega zaporedja je za 18 večji od tretjega člena geometrijskega zaporedja. Zapiši obe zaporedji!
Izbrana: | Info
10. Imamo funkcijo y = 1 3x3 x2 3x + 5:
a) poišči ekstreme funkcije,
b) skozi oba ekstrema načrtaj premico in napiši njeno enačbo,
c) izračunaj ploščino trikotnika, ki ga ta premica oklepa s koordinatnima osema,
d) izračunaj oba ostra kota tega trikotnika!
Izbrana: | Info
11. Kvadratna funkcija y = ax2 + bx + c je določena s točkami A(1,9),B(1,1) in C(2,0). Graf druge kvadratne funkcije pa gre skozi točko D(3,1) in ima ekstrem v točki T 3 2, 85 4 . Določi funkciji in izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta obe krivulji!
Izbrana: | Info
12. Ploščina enakostraničnega trikotnika, ki ga načrtamo nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika je dvakrat večja od ploščine tega trikotnika. Poišči razmerje med večjo in manjšo kateto!
Izbrana: | Info
13. Diagonala pravokotnega trapeza je enaka njegovemu kraku. Izračunaj srednjico, če je višina trapeza 2 cm in dolžina kraka 4 cm!
Izbrana: | Info
14. Enačba parabole se glasi y = 2x2 3x + 1:
a) določi teme,
b) določi ničli,
c) določi k tako, da bo premica y = kx 1 tangenta parabole,
d) določi dotikališče!
Izbrana: | Info
15. Dana je funkcija y = x3 + ax2 + bx + c:
a) določi koeficiente tako, da bo imela funkcija pri x = 1 maksimum, pri x = 3 minimum, ter vrednost -2 za x = 2,
b) načrtaj graf funkcije,
c) izračunaj ploščino lika med lokom krivulje in osjo x!
Izbrana: | Info
16. Imamo daljico AB = a in njeno simetralo. Na istem bregu daljice si izberemo na simetrali točke C,D in E, ki so od daljice oddaljene zaporedoma a 2, a in 3a 2 . Poišči vsoto kotov ACB, ADB in AEB!
Izbrana: | Info
17. Krogu s polmerom r je očrtan enakokrak trapez z ostrim kotom α ob osnovnici. Poišči obseg tega trapeza!
Izbrana: | Info
18. Dani sta premici 4mx (2m + 1)y + 14 = 0 in (4m + 5)x (8m 1)y + 21 = 0.
a) Določi m tako da se bosta premici sekali na ordinatni osi.
b) Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga premici oklepata z abscisno osjo!
c) Določi kvadratno funkcijo, ki gre skozi oglišča trikotnika.
d) Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepa parabola z abscisno osjo.
Izbrana: | Info
19. Polosi elipse sta korena enačbe 10x2 15x + 52 = 100. Določi enačbi tangent na elipso iz točke P(2,7) in ploščino trikotnika, ki ga tvorijao tangenti in polara!
Izbrana: | Info
20. Število 9750 razdeli na štiri dele tako, da dobiš padajoče geometrijsko zaporedje. Razmerje med razliko krajnih in razliko notranjih členov tega zaporedje je 19 : 6. Četrti člen tega padajočega geometrijskega zaporedja je enak vsoti prvih petih členov aritmetičnega zaporedja z razliko 20. Zapiši obe zaporedji!
Izbrana: | Info
21. Imamo funkcijo y = 2x3 + 3x2 12x 9
a) Poišči ekstreme.
b) Določi najmanjšo ničlo.
c) Oba ekstrema in najmanjša ničla so oglišča nekega trikotnika. Poišči njegovo ploščino.
d) Kolikšen je najmanjši kot tega trikotnika?
Izbrana: | Info
22. Imamo premico 2x + y 12 = 0 in parabolo y2 = 4x.
a) Načrtaj grafa obeh funkcij.
b) Poišči presečišča premice in parabole.
c) Poišči enačbi tangent v obeh presečiščih in kot med njima.
d) Poišči enačbo tangente na parabolo, ki je vzporedna premici 2x + y 12 = 0.
e) Poišči enačbo krožnice, ki gre skozi obe presečišči premice in parabole in skozi presečišče obeh tangent.
Izbrana: | Info
23. V enakokrakem pravokotnem trikotniku ABC s krakom a načrtaj težiščnici na kraka.
a) Kolikšen kot oklepata?
b) Izračunaj ploščino trikotnika, čigar oglišča so težišče, oglišče A in razpolovišče katete AC.
c) Kolikšen je polmer temu trikotniku včrtanega kroga?
Izbrana: | Info
24. Enakostraničnem trikotniku s stranico a včrtamo kvadrat in nato še krog.
a) izračunaj ploščino kvadrata.
b) Izračunaj ploščino kroga.
c) Kolikšno je razmerje med ploščino kroga in ploščino kvadrata?
Izbrana: | Info
25. V kakšnem razmerju deli ordinatna os ploskev med krivuljo y = x3 3x + 2, abscisno osjo in ordinatama obeh ekstremnih vrednosti funkcije?
Izbrana: | Info
26. Vsota prvih petih členov zaporedja je 60, četrti člen pa je enak 17. Trikratnik drugega člena je enak vsoti prvih treh členov geometrijskega zaporedja. Določi obe zaporedji, če je drugi člen geometrijskega zaporedja enak desetini dane vsote aritmetičnega zaporedja!
Izbrana: | Info