Gimnazija Nova Gorica
1. Podana sta polinoma y = x4 4x3 + 4x2 ter y = x3 2x2. Določi ničle in ekstrema ter načrtaj grafa polinomov! Izračunaj kote pod katerimi se polinoma sekata. Kolikšna je ploščina lika, ki ga oklepata grafa polinomov?
Izbrana: | Info
2. Razreši trikotnik: a : c = 2 : 1, p = 86,47, β = 62o28. Trikotnik se zavrti okoli osi, ki gre skozi oglišče B in je pravokotna na stranico c. Izračunaj prostornino in površino vrtenine? Nastali vrtenini očrtaj kroglo ter izračunaj njen polmer!
Izbrana: | Info
3. Vsota treh števil je enaka 1kratniku največjega korena enačbe 3x4 16x3 + 26x2 16x + 3 = 0. Če tretje število zmanjšamo za tri, dobimo aritmetično zaporedje. Če drugo število zmanjšamo za eno, dobimo geometrijsko zaporedje. Katera števila so to?
Izbrana: | Info
4. Načrtaj graf funkcije y = x24 x+1 ! Izračunaj kote v katerih graf seka abscisno os! V točki T1(2,y1), položi tangento in normalo ter napiši enačbi? V kateri točki normala drugič seka krivuljo? Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepa krivulja z abscisno osjo na intervalu od 0 do 2!
Izbrana: | Info
5. Dan je trikotnik ABC : AB¯ = c = 4 cm, AC¯ = b = 11 cm, kot pri A = α = 50o29 (ali cosα = 7 11 ). V točki A je postavljena na ravnino trikotnika ABC pravokotnica AD¯, tako da je kot ABD = 60o. Izračunaj dolžine robov piramide, nato pa še prostornino in površino. Piramidi včrtamo kroglo. Izračunaj njen polmer!
Izbrana: | Info
6. Tri števila tvorijo geometrijsko zaporedje, katerega vsota je enaka največjemu korenu enačbe 8x4 + 14x3 69x2 + 14x + 8 = 0. Če tretje število zmanjšamo za 6, dobimo aritmetično zaporedje. Zapiši obe zaporedji!
Izbrana: | Info
7. Načrtaj grafa funkcij y = x3 + 3x2 + 3x + 1 ter y = x3 3x2 3x + 1. Določi ničle, stacionarne točke in medsebojna presečišča! Izračunaj ploščino lika, ki ga krivulji omejujeta! V presečiščih krivulj načrtaj tangente na obe krivulji in izračunaj ploščino konveksnega štirikotnika med tangentami! Ali se da četverokotniku krog včrtati?
Izbrana: | Info
8. Krogli s polmerom R = 1 očrtaj pravilno štiristrano piramido.
a) Zapiši prostornino piramide kot funkcijo višine! Analiziraj to funkcijo! (Definicijsko območje, intervale na katerih funkcija narašča oz. pada, ekstreme funkcije)
b) Kako se spreminja osnovni rob piramide z višino?
Izbrana: | Info
9. Tri zaporedna padajoča naravna števila so zaporedni členi aritmetičnega zaporedja. Če prvemu prišteješ 3 in tretje zmanjšaš za 1, dobiš geometrijsko zaporedje:
a) Napiši obe zaporedji in izračunaj vsoto neskončne vrste, ki jo določa geometrijsko zaporedje!
b) Prvi trije členi aritmetičnega zaporedja so elementi množice A, prvi trije členi geometrijskega pa so elementi množice B. Določi unijo in presek množic A in B!
c) Koliko štirimestnih števil lahko zapišemo z elementi A B če se cifre ne ponavljajo in koliko če se cifre lahko ponavljajo?
d) Koliko je petmestnih sodih števil, ki jih zapišemo z elementi A B, če se cifre ne ponavljajo in koliko je vseh petmestnih lihih števil, če se cifre ne ponavljajo?
e) Koliko je moč množice vseh podmnožic množice A?
Izbrana: | Info
10. Poišči ekstremne vrednosti funkcije y = x23x3 x+2 in načrtaj njen graf. V točkah, kjer graf funkcije seče abscisno os, postavi tangenti na krivuljo ter napiši njuni enačbi. Izračunaj kot med tangentama in ploščino lika, ki ga omejujejo tangenti in lok krivulje!
Izbrana: | Info
11. Pokončna prizma ima za osnovno ploskev trikotnik s stranicami: a = 2 + x,b = 2 x,c = 2. Višina piramide je 12.
a) Analiziraj volumen piramide kot funkcijo spremenljivke x in načrtaj graf te funkcije! Za kakšne vrednosti parametra x je prostornina določena? Kolika je največja prostornina?
b) Analiziraj cosγ kot funkcijo x? ( γ je kot osnovne ploskve) Načrtaj graf te funkcije! Za kakšne vrednosti spremenljivke x je naloga smiselna? Kakšen trikotnik nastane pri ekstremnih vrednostih funkcije?
Izbrana: | Info
12. Racionalne ničle polinoma p(x) = 3x5 7x4 4x3 16x2 + 33x 9 so prvi trije členi padajočega zaporedja. Ugotovi vrsto zaporedja in izračunaj njegovo vsoto, če je število členov neskončno mnogo! Koliko členov tega zaporedja moraš sešteti, da dobiš 121 27 ?
Izbrana: | Info