Leto 1994 (poskusna)
1. V množici reši enačbo 4x2 + 8x + 29 = 0. Rešitvi predstavi kot oglišči A in B trikotnika ABC v kompleksni ravnini, tretje oglišče C pa ustreza kompleksnemu številu z = 2 3 2i. Pokaži, da je trikotnik ABC enakokrak.
Izbrana: | Info
2. Dana je funkcija f(x) = log2(x 3).
a) Določi njeno definicijsko območje in skiciraj graf funkcije.
b) Izračunaj presečišče grafa s premico y = 2.
Izbrana: | Info
3. Vektorja e in f imata dolžini e = 1, f = 2, kot med njima pa meri 60 o. Kolikšen kot oklepa vektor e z vektorjem (3e + f) Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
Izbrana: | Info
4. Reši enačbo 4sinxcosx = 1.
Izbrana: | Info
5. Trikotnik ABC s podatki a = 33 cm, b = 4 cm, γ = 30o zavrtimo okoli stranice a. Izračunaj površino in prostornino nastale vrtenine. Rezultat naj bo točen.
Izbrana: | Info
6. Dana je funkcija f(x) = x2 2x 3. Izračunaj ničli in teme, ter nariši grafe funkcij f(x), f(x), f(x + 1).
Izbrana: | Info
7. Prvi del oznake na registrski tablici tvorita dve črki izmed A, B, C, D, E, F, drugi del pa tri cifre desetiškega sestava. Koliko različnih oznak obstaja, če se
a) znaki ne smejo ponavljati,
b) oznaka začne z A ali B in se znaki ne smejo ponavljati?
Izbrana: | Info
8. Nariši množico točk A ={T(x,y);(x2 + y2 9) (y |x|)} v ravnini in izračunaj njeno ploščino.
Izbrana: | Info
* 9. Dani sta hiperboli x2 4 y2 = 1 in y2 x2 4 = 1.
a) Pokaži, da imata isti asimptoti in izračunaj kot med asimptotama (rezultat zaokroži na ločno minuto natančno).
b) Obe krivulji nariši v isti koordinatni sistem.
c) Izračunaj gorišča in pokaži, da določajo kvadrat.
Izbrana: | Info
* 10. Dana je funkcija f(x) = x3x2+2x+4 (x1 )2.
a) Določi realne ničle in definicijsko območje dane funkcije.
b) Določi poševno asimptoto in presečišče grafa s poševno asimptoto.
c) Nariši graf funkcije f(x). Za risanje grafa ni potrebno uporabiti odvoda.
Izbrana: | Info
* 11. Trikotnik ABC leži v ravnini (x,y) in ima oglišča A(-2,-3), B(1,-1), C(-3,-5).
a) Z računom pokaži, da je pravokoten in določi enačbo trikotniku ABC očrtanega kroga.
b) Izračunaj ploščino trikotnika ABC in dolžino višine na hipotenuzo.
c) Izračunaj enačbo premice nosilke višine na hipotenuzo v eksplicitni obliki.
Izbrana: | Info
* 12. V kvadrat s stranico 20 cm včrtamo pravokotnik, katerega osnovnica je vzporedna diagonali kvadrata in meri x cm. Skica je obvezna.
a) Izračunaj obseg pravokotnika.
b) Izračunaj ploščino S pravokotnika kot funkcijo spremenljivke x.
c) Dokaži, da je S največji, ko je pravokotnik kvadrat.
d) Določi stranici včrtanega pravokotnika, če njegova diagonala meri 105 cm.
Izbrana: | Info
* 13. a) Določi x tako, da bodo x - 2, x, x + 3 prvi trije zaporedni členi geometrijskega zaporedja in zapiši njegov splošni člen.
b) Dokaži, da je n- ti člen tega zaporedja enak 8 3 · (3 2)n.
c) Koliko členov tega zaporedja moramo sešteti, da bo vsota presegla število 87 - 8?
Izbrana: | Info
14. Pod kolikšnim kotom graf polinoma p(x) = 2x3 + x2 + 2x 5 seka abscisno os? Rezultat naj bo podan na stotinko stopinje natančno.
Izbrana: | Info
15. Napiši enačbo elipse, ki ima gorišči v temenih hiperbole x2 2 y2 16 = 1, graf pa poteka skozi gorišči te hiperbole.
Izbrana: | Info
16. Določi družino funkcij, katerih odvod je enak f(x) = (x32x)2 x5 .
Izbrana: | Info
17. Določi m tako, da bodo vektorji a = (2,4,5),b = (1,3,2),c = (1,3,m) komplanarni.
Izbrana: | Info
18. Nariši graf funkcije f(x) = |1 2x 2| in izračunaj, kje seka premico y = 3.
Izbrana: | Info
19. V pravokotniku meri ena stranica 24 cm, druga pa je za 8 cm krajša od diagonale. Izračunaj dolžino diagonale ter kot med diagonalo in dano stranico. Kot izračunaj na stotinko natančno.
Izbrana: | Info
20. Reši enačbo: tg x = 2sinx.
Izbrana: | Info
21. Reši enačbo: log(x 9) + 2log2x 1 = 2.
Izbrana: | Info
22. Določi inverzno funkcijo funkcije f(x) = x1 + 2 ter nariši grafa obeh funkcij v isti koordinatni sistem. Določi definicijsko območje inverzne funkcije.
Izbrana: | Info
* 23. Dana je funkcija f(x) = 2 x x2.
a) Nariši graf funkcije f.
b) Zapiši enačbo tangente na ta graf v točki T(1,2).
c) Izračunaj ploščino lika, omejenega z grafom funkcije f, tangento na graf v točki T(1,y1) in premico x = 2.
Izbrana: | Info
* 24. Dana je kocka ABCDABCD z robom a. Točka E naj bo razpolovišče roba BC.
a) Nariši sliko dane kocke, na njej označi piramido ABBE in določi dolžine vseh robov te piramide.
b) Izračunaj prostornino piramide.
c) Izračunaj kot med ravninama trikotnikov ABE in ABB na stotinko stopinje natančno.
Izbrana: | Info
* 25. Danih je šest črk A, O, D, L, M, P, od katerih smemo vsako uporabiti le enkrat.
a) Izračunaj, koliko je vseh besed dolžine 3, sestavljene iz teh črk in koliko od teh besed se začne s soglasnikom?
b) Izmed danih črk na slepo izberemo 3 črke. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da je med njimi vsaj en samoglasnik, in kolikšna je verjetnost dogodka B, da je med njimi natanko en samoglasnik?
c) Iz vseh črk na slepo sestavimo besedo. Kolikšna je verjetnost, da je ta beseda POMLAD? Verjetnost dogodka zapiši v obliki okrajšanega ulomka.
Izbrana: | Info
* 26. Dano je geometrijsko zaporedje a1 = 1,a2 = 2x x + 1,a3 = ( 2x x + 1)2,...,a n = ( 2x x + 1)n1,... a) Za katere x je vrsta a1 + a2 + a3 + ... konvergentna?
b) Določi x tako, da bo vsota gornje vrste enaka 2.
c) Izračunaj n an, če je x = 1 2. a)x( 1 3,1);
Izbrana: | Info
* 27. Dani sta funkciji: f(x) = x3 x+1 in g(x) = x+6 x+2.
a) Nariši grafa funkcij f(x) in f(x).
b) Izračunaj f(g(x)).
c) Izračunaj ploščino lika, ki je omejen z grafom funkcije f(x) in koordinatnima osema.
Izbrana: | Info