Leto 1995
1. Določi a tako, da se bosta premici (a 1)x + (a 3)y = 2 in x + (a + 1)y = 2 sekali na simetrali lihih kvadrantov.
Izbrana: | Info
2. Dani sta točki A(3,1) in B(5,7). Zapiši enačbo simetrale daljice AB in določi presečišči simetrale s koordinatnima osema.
Izbrana: | Info
3. Nariši v kompleksni ravnini množico: {z ,z 5 in Rez 2 in Imz 1}
Izbrana: | Info
4. Raztreseni profesor ima v omari 7 levih in 10 desnih čevljev (od teh je 6 parov popolnih). Na slepo vzame dva čevlja. Kolikšna je verjetnost, da vzame:
a) en levi in en desni čevelj,
b) popolni par čevljev?
Izbrana: | Info
5. Točka A leži zunaj kroga in je od najbližje točke na krogu oddaljena 9 cm. Odsek tangente iz točke A na krog meri od točke A do dotikališča natančno 21 cm. Izračunaj ploščino kroga - rezultat naj bo točen.
Izbrana: | Info
6. Hiperbola ima z elipso x2 + 5y2 = 20 skupni tisti temeni, ki ležita na isti premici kot gorišči elipse. Razdalja med goriščema hiperbole meri 46. Določi enačbo hiperbole.
Izbrana: | Info
7. Dokaži, da števila 2+1 21, 1 22, 1 2 določajo padajoče geometrijsko zaporedje. Izračunaj tudi vsoto neskončne geometrijske vrste, katere prvi trije členi so dana števila. Imenovalec rezultata racionaliziraj.
Izbrana: | Info
8. Reši enačbo: 1 cos x = cosx + sinx.
Izbrana: | Info
9. Reši eksponentno enačbo: 4x2 = 32x+1. Rešitev zapiši na 4 mesta natančno.
Izbrana: | Info
10. Tovarna proizvaja iz istega materiala dva izdelka. Prvi tehta 9 kg, drugi pa 12 kg. Prvi izdelek trije delavci napravijo v eni uri, za drugega pa dva delavca porabita dve uri in pol. Izračunaj, koliko tovarno stane kilogram materiala in koliko ura dela enega delavca, če so skupni stroški proizvodnje prvega izdelka 7200 SIT, drugi izdelek pa je za 2700 dražji.
Izbrana: | Info
11. V posodi imamo 36 litrov 50% raztopine H2SO4. Koliko litrov destilirane vode moramo doliti, da bomo dobili 45% raztopino H2SO4?
Izbrana: | Info
12. Kvadratna funkcija f ima ničli x1 = 5 in x2 = 1. Definirajmo funkcijo g z g(x) = f(x + u). Določi število u tako, da bo funkcija g soda.
Izbrana: | Info
13. Dan je tetraeder ABCD. Točka E je razpolovišče roba BC, točka M pa razpolovišče roba AD. Zapiši vektor EM kot linearno kombinacijo baznih vektorjev a = AB, b = AC, c = AD.
Izbrana: | Info
14. Naj bo f racionalna funkcija, dana s predpisom f(x) = x x2. Določi inverzno funkcijo f1 in skiciraj graf inverzne funkcije f1.
Izbrana: | Info
* 15. Dani sta premica x = t 2, y = 2t + 3, z = t in točka T(5,7,3).
a) Napiši enačbo ravnine skozi dano premico in dano točko.
b) Napiši enačbo ravnine, ki je pravokotna na dano premico in gre skozi točko T.
c) Izračunaj koordinate nožišča N pravokotnice iz točke T na dano premico in pokaži, da je razdalja točke T od premice enaka 25.
Izbrana: | Info
* 16. Dana je funkcija g(x) = x + 3.
a) Določi interval, na katerem je definirana funkcija g(x).
b) Nariši graf funkcije xln(g(x)). Kje ta graf seka koordinatni osi? Izračunaj vse x, za katere je ln(g(x)) < 0.
c) Izračunaj, kje je definirana funkcija xln(g(x)).
Izbrana: | Info
* 17. Janez je v začetku leta vložil v banko milijon tolarjev. Banka daje za tolarske hranilne vloge 10% obresti na leto. Janez v prihodnjih letih ne bo več vlagal v banko niti ne bo svojega denarja dvigal iz banke.
a) Izračunaj, koliko denarja bo imel Janez v banki po preteku enega leta in koliko po preteku dveh let.
b) Izračunaj, koliko let bo moral varčevati, da bo imel 1771561 tolarjev.
c)Če bi se odločil za vezano vlogo, bi privarčeval 1771561 že v treh letih. Izračunaj, kolikšna je letna obrestna mera za vezane vloge.
Izbrana: | Info
* 18. Graf eksponentne funkcije f(x) = ax gre skozi točko T(0.6¯,0.25).
a) Izračunaj osnovo a.
b) Reši enačbo: 3f(x) 2f(x) = 5.
c) Nariši graf funkcije f in v isti koordinatni sistem še graf funkcije g, dane z g(x) = f(x + 3).
Izbrana: | Info
* 19. Pisalni stroj ima 45 tipk za znake: 27 črk, 10 cifer in 8 simbolov.
a) Mali Janez, ki še ne hodi v šolo in še ne zna brati, na slepo pritisne na eno od tipk. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da bo pritisnil na tipko s črko T, in kolikšna je verjetnost dogodka B, da bo pritisnil eno od črk svojega imena?
b) Janez na slepo natipka 5 znakov. Kolikšna je verjetnost dogodka C, da bo napisal svoje ime, in kolikšna je verjetnost dogodka D, da bo napisal vse črke svojega imena?
c) Janez, na slepo natipka 3 znake. Kolikšna je verjetnost dogodka E, da so to tri enake cifre?
Izbrana: | Info
20. Če od števila b odštejemo dvakratnik števila a, dobimo 2; če zmanjšamo petkratnik števila a za (b + 1), pa 6. Izračunaj števili a in b.
Izbrana: | Info
21. Za a = 2 in b = 3 izračunaj vrednost izraza: a664b2 27b 3 + 1 3(a)4
Izbrana: | Info
22. Poenostavite izraz: sin(π + x) + sin(π x) + sin(x π 2 ) + sin(x + π 2 )
Izbrana: | Info
23. Dan je polinom p(x) = 2x3 + 3x2 + 3x + 5. Zapišite točko, v kateri graf polinoma seka ordinatno os, in izračunajte enačbo tangente na graf polinoma v točki T1(1,y1).
Izbrana: | Info
24. Rešite enačbo: 1 + log2(4x + 1) = 0.
Izbrana: | Info
25. Krožnici s središčem v izhodišču koordinatnega sistema se ena z zunanje in druga z notranje strani dotikata elipse 9x2 + 4y2 = 36. Izračunajte ploščino kolobarja med obema krožnicama.
Izbrana: | Info
26. Imamo kompleksno število z = (1 2i)2. Izračunajte z.
Izbrana: | Info
27. Narišite graf funkcije f(x) = 2 x3 in izračunajte ploščino lika med grafom funkcije in osjo x na intervalu [1,2].
Izbrana: | Info
28. Trgovski potnik bo obiskal 7 mest, vsako natanko enkrat. Na koliko načinov lahko to stori, če je izmed teh 7 mest prvo, ki ga bo obiskal, Novo mesto?
Izbrana: | Info
29. Točke A , B in C so določene s krajevnimi vektorji r a = a , r b = b in r c = 2 a + 3 b . Z a in b izrazite krajevni vektor r s razpolovišča S daljice A B in krajevni vektor r u točke U , ki deli daljico A C v razmerju A U : U C = 3 : 2 .
Izbrana: | Info
30. Prvi člen geometrijskega zaporedja je a 1 = 1 , četrti pa a 4 = 6 4 . Zapišite splošni člen tega zaporedja in ugotovite, koliko členov je po absolutni vrednosti manjših od 1000.
Izbrana: | Info
31. Osnovna ploskev pokončne tristrane prizme A B C A B C je enakostranični trikotnik s stranico 10 cm. Višina prizme je 12 cm. Točka D je razpolovišče roba A B . Izračunajte kot D A C = ϕ na minuto natančno. Narišite skico.
Izbrana: | Info
32. V razredu je 30 učencev. Vsi so reševali test, sestavljen iz dveh nalog. Prvo nalogo je rešilo 70%, drugo pa 60% vseh učencev. Pet učencev ni rešilo nobene naloge. Izračunajte, koliko učencev je rešilo obe nalogi.
Izbrana: | Info
33. Naj bosta a in b dve različni realni števili. Pokažite, da ima enačba x ( x + 2 a ) = b ( x + a ) dve različni realni rešitvi.
Izbrana: | Info
* 34. Trikotnik ABC določajo oglišča: A(5,3,1), B(2,1,5), C(9,5,0).
a) Natančno izračunajte obseg trikotnika ABC in kot ABC.
b) Premica poteka skoži točko A in je pravokotna na ravnino, v kateri leži trikotnik ABC. Zapišite enačbo premice.
c) Zapišite enačbo ravnine, ki jo določajo točke A,B,C.
Izbrana: | Info
* 35. Dana je funkcija f(x) = x2(x 3).
a) Zapišite ničle, ekstreme in narišite graf funkcije.
b) Izračunajte ploščino lika, ki je omejen z grafom dane funkcije in abscisno osjo.
c) Pod kolikšnim kotom seka graf funkcije f premico, na kateri ležita točki T1(1,2) in T2(4,1) ? Rezultat napišite na stotinko stopinje natančno.
Izbrana: | Info
* 36. Funkcija f je dana s predpisom f(x) = 2cos(x 2 + π 4 ).
a) Izračunajte ekstreme te funkcije in narišite njen graf.
b) Izračunajte presečišča grafa s premico y = 1.
c) Izračunajte 0 π 2 f(x)dx.
Izbrana: | Info
* 37. Za vsako pozitivno realno število x je log2x + (log2x)2 + (log2x)3 + ... geometrijska vrsta.
a) Za x = 2 izračunajte vsoto te geometrijske vrste.
b) Zapišite množico vseh realnih x, za katere je geometrijska vrsta konvergentna.
c) Rešite enačbo: log2x + (log2x)2 + (log2x)3 + ... = 1 3.
Izbrana: | Info
* 38. Dani sta kompleksni števili: z1 = 52 36i in z2 = 3 4i.
a) Izračunajte z1 z2 in z1 + iz2.
b) Točki T1 in T2 v kompleksni ravnini ustrezata številoma z1 in z2. Zapišite kompleksno število z3, ki ustreza razpolovišču daljice T1T2.
c) Izračunajte argument števila ω = z2 z1 na stotinko stopinje natančno.
Izbrana: | Info
* 39. V posodi X so 3 bele in 2 črni kroglici, v posodi Y pa 5 belih in ena črna kroglica.
a) Na slepo vzamemo po eno kroglico iz vsake posode. Kolikšne so verjetnosti dogodkov:
A, da sta obe kroglici beli,
B, da sta obe kroglici črni,
C, da sta kroglici enake barve,
D, da je ena kroglica bela in ena kroglica črna?
b) Petkrat zaporedoma vzamemo po eno kroglico iz vsake posode in kroglici vsakič vrnemo, od koder smo ju vzeli. Kolikšna je verjetnost dogodka E, da natanko trikrat potegnemo kroglici iste barve? Rezultat zaokrožite na tri mesta.
c) Kroglice iz posode X na slepo postavimo v vrsto. Kolikšna je verjetnost dogodka F, da stoje črne kroglice skupaj in bele kroglice skupaj?
Izbrana: | Info
40. Dani sta točki A(2,1) in B(4,2). Določite enačbo premice, ki poteka skozi točko A in je pravokotna na daljico AB.
Izbrana: | Info
41. Natančno izračunajte razdaljo med točkama A(17 + 10,17 10) in B(17 10,17 + 10). Rezultat delno korenite.
Izbrana: | Info
42. Rešite enačbo: cosx + cos2x = 0.
Izbrana: | Info
43. Pokažite, da je (1 + i3)4 + (1 i3)4 realno število.
Izbrana: | Info
44. Zapišite enačbo krožnice, ki poteka skozi točko A(4,1) in ima isto središče kot krožnica x2 + y2 6x + 2y + 5 = 0.
Izbrana: | Info
45. V ortonormirani bazi so dani vektorji a = (x,2,3), b = (1,0,3) in c = (1,y,2). Določite x in y tako, da bo ab in ac.
Izbrana: | Info
46. Narišite graf funkcije f(x) = 2x1 x+2 . Zapišite ničlo, pol, vodoravno asimptoto in presečišče grafa z ordinatno osjo.
Izbrana: | Info
47. V pravokotniku ABCD leži točka E na stranici DC. Izračunajte dolžino stranice AB, če merita kota EBC = 30o in EAC = 42o, stranica AD pa 6 dm. Rezultat zaokrožite na milimetre. Narišite skico.
Izbrana: | Info
48. Rešite enačbo: (2 3)x2+1 (3 2)2x+2 = 4 9.
Izbrana: | Info
49. Izračunajte ploščino lika med grafom funkcije f(x) = 2x + 3cosx, abscisno osjo in premicama x = 0 in x = π.
Izbrana: | Info
50. Zaporedje je dano s splošnim členom an = n2 5n 50; (n = 1,2,3,...). Izračunajte, od vključno katerega člena tega zaporedja naprej so členi večji od 100.
Izbrana: | Info
51. Poiščite vsa realna števila a, za katera velja a + a2 + a3 + ... + an + ... = 2a (na levi strani enakosti je neskončna vrsta z n tim členom enakim an).
Izbrana: | Info
52. Dana je funkcija f(x) = (x + a)2. število a določite tako, da bo f(2) = 1 in f(2) < 0.
Izbrana: | Info
53. Na konjski dirki tekmuje 14 konjev. Na koliko načinov lahko zasedejo prva 3 mesta? Privzamemo, da vsi pridejo do cilja in to ob različnih časih.
Izbrana: | Info
* 54. Središči S1 in S2 krožnic s polmeroma r1 = 8 cm in r2 = 6 cm sta oddaljeni 12 cm. Krožnici se sekata v točkah A in B.
a) Izračunajte kote S1AS2 = γ, AS1S2 = α in AS2S1 = β. Rezultate zaokrožite na stotinko stopinje.
b) Izračunajte na štiri mesta natančno ploščino štirikotnika AS1BS2.
c) Na tri mesta natančno izračunajte ploščino lika, ki je presek krogov, določenih z danima krožnicama.
Izbrana: | Info
* 55. Dana je funkcija f(x) = ln(x+1 x1).
a) Določite definicijsko območje te funkcije.
b) Dokažite, da je funkcija f liha.
c) Zapišite enačbo tangente, ki se v točki T1(3,y1) dotika grafa funkcije f.
Izbrana: | Info
* 56. Zaporedje ima splošni člen an = sin nπ 4 ; n = 1,2,3,...
a) Zapišite natančne vrednosti prvih 8 členov zaporedja in jih seštejte.
b) Natančno izračunajte 1995. člen zaporedja.
c) Izračunajte vsoto prvih 1995 členov zaporedja.
Izbrana: | Info
* 57. Imamo dve posodi: v prvi je 6 rdečih in 4 bele kroglice, v drugi pa so 4 rdeče in 1 bela kroglica.
a) Na slepo potegnemo po eno kroglico iz vsake posode in jo vrnemo v posodo iz katere smo jo vzeli. Izračunajte verjetnost dogodkov:
A : izvlekli smo vsaj eno belo kroglico;
B : izvlekli smo kroglici različne barve.
b) šestkrat zapored na slepo potegnemo iz druge posode po eno kroglico, jo pogledamo in vrnemo v isto posodo. Kolikšna je verjetnost dogodka C, da smo natanko trikrat potegnili belo kroglico?
c) Iz prve posode na slepo izberemo eno kroglico in jo damo v drugo posodo, nato pa prav tako na slepo vzamemo eno kroglico iz druge posode.
(i) Kolikšna je verjetnost dogodka D, da smo iz druge posode potegnili belo kroglico?
(ii) Denimo, da se je zgodil dogodek D (iz druge posode smo potegnili belo kroglico). Kolikšna je verjetnost, da je bila bela tudi kroglica, ki smo jo iz prve posode prenesli v drugo?
Izbrana: | Info
* 58. Dana je funkcija f(x) = x3 (x2)2 .
a) Določite ničle, pole, asimptote in ekstreme funkcije.
b) Narišite graf funkcije.
c) Določite presečišči grafa funkcije s premico y = 3. Kolikšna je razdalja med presečiščema?
Izbrana: | Info
* 59. Dan je sistem dveh enačb z dvema neznankama in s parametrom a : x ay = 2 a, ax y = a.
a) Za a = 1 zapišite množico rešitev (x,y) danega sistema enačb in jo ponazorite v danem koordinatnem sistemu.
b) Izračunajte, za katere vrednosti parametra a ima sistem natanko eno rešitev.
c) Za a1 zapišite množico rešitev (x,y) danega sistema. Pokažite, da te rešitve leže na premici z enačbo y = 2 x.
Izbrana: | Info