Leto 1996
1. Izračunajte največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 123, 697 in 533.
Izbrana: | Info
2. Narišite premici y = x 1 in y = x + 3. Izračunajte ploščino trikotnika, ki ga premici oklepata z abscisno osjo.
Izbrana: | Info
3. Vektorja a in b oklepata kot 5π 6 . Izračunajte a b, če je a = 23 in b = 3. Rezultat naj bo točen.
Izbrana: | Info
4. Rešite enačbo: cosx cos2x + sin2x = 1.
Izbrana: | Info
5. Dan je polinom p(x) = x3 3x 2. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta graf polinoma in abscisna os. Skica je obvezna.
Izbrana: | Info
6. Na šestih kartončkih so napisane črke E, L, I, P, S, A (na vsakem kartončku ena). Na slepo izberemo 4 kartončke. Kolikšna je verjetnost, da iz njih lahko sestavimo besedo LIPA?
Izbrana: | Info
7. Od 25 učencev so pri pisni nalogi štirje dobili oceno 5, pet oceno 4 in pet oceno 2. Koliko učencev je dobilo oceno 1 in koliko učencev je dobilo oceno 3, če je bila povprečna ocena natanko 3? Napišite odgovor.
Izbrana: | Info
8. Izračunajte za katere x so x2 3, x 1, 1 2x zaporedni členi aritmetičnega zaporedja.
Izbrana: | Info
9. Dano je kompleksno število z = 1+2i 12i. Pokažite, da je z¯ = z1.
Izbrana: | Info
10. Izračunajte kot, pod katerim graf funkcije f(x) = ln(3x 5) seka abscisno os. Rezultat zaokrožite na stotinko stopinje.
Izbrana: | Info
11. Kvadratna funkcija ima ničli: -2 in 3. Njen graf seka ordinatno os v točki A(0,3). Zapišite enačbo kvadratne funkcije, izračunajte koordinati temena in narišite njen graf.
Izbrana: | Info
12. Ploščina trikotnika ABC je 8 cm 2. Dve stranici merita 5 cm in 8 cm. Izračunajte obe možni dolžini tretje stranice na tri mesta natančno.
Izbrana: | Info
13. Točki A(u,3) in B(1,15) sta krajišči daljice AB. Določite število u tako, da bo dolžina daljice enaka 13 enot. Zapišite obe rešitvi.
Izbrana: | Info
14. Dolžine robov kvadra so v razmerju a : b : c = 2 : 1 : 1. Prostornina kvadra je 1024 cm 3. Izračunajte dolžine robov in telesne diagonale kvadra. Zadnji rezultat delno korenite.
Izbrana: | Info
* 15. Dan je plinom p(x) = x3 + ax2 + bx + 6.
a) Za a = 6, b = 1 izračunajte vse ničle danega polinoma.
b) Določite realni števili a in b tako, da bo polinom p deljiv z x 2, pri deljenju polinoma p z x 1 pa bo ostanek 4.
c) Določite realni števili a in b tako, da bo imel polinom p ničlo 1 i.
Izbrana: | Info
* 16. Dani sta krivulja y = 2-->x in družina premic y = 4x + n.
a) Pri katerih vrednostih parametra n je dana premica tangenta in pri katerih vrednostih parametra n je sekanta dane krivulje?
b) Lik L, ki ga omejujejo krivulja y = 2-->x, abscisna os in premica x = 1, zavrtimo okrog osi x. Določite prostornino nastalega rotacijskega telesa.
c) Narišite lik M, ki ga omejujejo krivulja y = 2-->x, premica y = 4x 2 in abscisna os. Izračunajte prostornino vrtenine, ki jo dobimo z vrtenjem lika M okrog abscisne osi.
Izbrana: | Info
* 17. Premica p je dana z enačbo r = (3,2,0) + t(2,1,3), premica q pa je dana z enačbo r = (1,5,1) + s(1,1,2); (t,s ).
a) Zapišite enačbo ravnine Π, ki poteka skozi točko A(2,3,2) in je pravokotna na premico p.
b) Izračunajte kot med premicama p in q. Rezultat zaokrožite na stotinko stopinje.
c) Dokažite, da p in q ležita v isti ravnini Σ, in zapišite enačbo te ravnine.
Izbrana: | Info
* 18. Dana je funkcija f(x) = 2 ex.
a) Določite asimptoto grafa, presečišča grafa s koordinatnima osema in narišite graf funkcije.
b) Natančno izračunajte kot α, pod katerim graf funkcije f seka ordinatno os. Na stotinko stopinje natančno izračunajte kot β, pod katerim graf funkcije f seka abscisno os.
c) Natančno izračunajte ploščino območja med grafom funkcije f in koordinatnima osema. Nato rezultat zaokrožite na 4 mesta.
Izbrana: | Info
* 19. Zaporedje ima n ti člen an = 2n15 n+1 ; n = 1,2,3,...
a) Pokažite, da je zaporedje naraščajoče. Koliko členov zaporedja je negativnih?
b) Izračunajte limito zaporedja.
c) Naj bo ε = 0.1. Od vključno katerega člena naprej leže členi zaporedja v ε okolici limite? Odgovor zapišite s polnim stavkom.
Izbrana: | Info
* 20. Na pikniku se dobita dve družini. Prvo sestavljajo oče, mati in otrok. Drugo družino sestavljajo oče, mati in trije otroci.
a) Izračunajte, na koliko načinov se lahko vsi prisotni postavijo v vrsto za sladoled, tako da stojijo otroci skupaj in odrasli skupaj?
b) Na koliko načinov lahko med njimi izberemo tričlansko raziskovalno odpravo, v kateri bo vsaj en odrasel?
c) Na kosilo vsi čakajo naključno razporejeni v vrsto. Izračunajte verjetnost dveh dogodkov:
(i) dogodka A, da člani prve družine stojijo skupaj in člani druge družine stojijo skupaj,
(ii) dogodka B, da je zadnji v vrsti eden od očetov.
Izbrana: | Info
21. Z okrajšanim ulomkom zapišite vrednost izraza: 2(3,16¯ + 7 9 3).
Izbrana: | Info
22. Premica je dana z enačbo x 4 y 5 = 1. Narišite premico v koordinatnem sistemu in izračunajte ploščino trikotnika, ki ga ta premica omejuje z obema koordinatnima osema.
Izbrana: | Info
23. Dana sta vektorja a = (2,1) in b = (2,3). Narišite ju in izračunajte kot med njima na stotinko stopinje natančno.
Izbrana: | Info
24. Rešite enačbo: 3cosx = 3sinx.
Izbrana: | Info
25. Zapišite polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti, če ima ničli x1 = 2 in x2 = i, njegov graf pa seka ordinatno os v točki T(0,2).
Izbrana: | Info
26. Na polico želimo postaviti 4 različne matematične in 5 različnih fizikalnih knjig. Na koliko načinov jih lahko razporedimo, če naj knjige iste stroke stojijo skupaj?
Izbrana: | Info
27. Izdelek se je prvo leto podražil za 35%, drugo leto pa še za 50%. Izračunajte, za koliko odstotkov je ta izdelek ob koncu drugega leta dražji kot v začetku prvega leta.
Izbrana: | Info
28. Poiščite dvajseti člen aritmetičnega zaporedja: 25, 21, 17,... Nato izračunajte še vsoto vseh pozitivnih členov tega zaporedja.
Izbrana: | Info
29. Rešite enačbo: 7 37 x2 = x.
Izbrana: | Info
30. Določite intervale naraščanja in padanja funkcije f(x) = 2 3x3 3 2x2 5x + 3.
Izbrana: | Info
31. Narišite grafa funkcij f(x) = x2 + 1 in g(x) = 2x2 + 2 in izračunajte ploščino lika, ki ga oklepata grafa.
Izbrana: | Info
32. Rešite enačbo: log(2 x) + log(1 x) = log(8 4x).
Izbrana: | Info
33. Napišite enačbo krožnice, katere središče leži na premici 3x 4y + 11 = 0, premici x = 1 in x = 7 pa sta tangenti krožnice.
Izbrana: | Info
34. V pravokotnem trikotniku je ena od katet dolga 6 cm, njena pravokotna projekcija na hipotenuzo pa meri polovico hipotenuze. Izračunajte ploščino kroga, ki je očrtan trikotniku. Rezultat naj bo točen.
Izbrana: | Info
* 35. Dana je funkcija f(x) = cos(2x 5π 6 ) cos(2x + 5π 6 ).
a) Pokažite, da je f(x) = sin2x.
b) Narišite graf funkcije g(x) = 2f(x).
c) Naj bosta x1 in x2 najmanjši pozitivni rešitvi enačbe g(x) = 1. Določite ploščino lika, ki je omejen z grafom funkcije g in zveznico točk T1(x1,1) in T2(x2,1).
Izbrana: | Info
* 36. Dana je enačba krožnice x2 4x + y2 + 2y + 3 = 0.
a) Narišite krožnico in izračunajte presečišča krožnice s koordinatnima osema.
b) Določite realno število c tako, da bo premica z enačbo y = x + c razpolavljala krožnico.
c) Abscisna os razdeli krog (omejen z dano krožnico) na dva dela. Natančno izračunajte razmerje ploščin večjega in manjšega dela.
Izbrana: | Info
* 37. Dani sta funkciji: f(x) = ex in g(x) = ex+2.
a) Narišite grafa funkcij f in g. Natančno opišite togi premik, s katerim dobimo graf funkcije g iz grafa funkcije f.
b) Natančno izračunajte ploščino lika, omejenega z grafoma danih funkcij in premicama x = 2 in x = 0.
c) Premica z enačbo x = a seka grafa funkcij f in g v točkah T1 in T2. Razdalja med točkama T1 in T2 je enaka 1 2(e e1). Določite a.
Izbrana: | Info
* 38. a) Narišite v kompleksni ravnini množico vseh kompleksnih z, za katere velja z = z 2i.
b) Narišite v kompleksni ravnini množico L vseh kompleksnih števil z, za katere velja: z 1 in z 2i 3.
c) Natančno izračunajte ploščino množice L. Najdite premico p, ki je simetrijska os množice L.
Izbrana: | Info
* 39. Točke A(1,2,0), B(3,0,2) in C(2,1,1) so oglišča trikotnika ABC.
a) Izračunajte dolžino težiščnice tc.
b) Zapišite enačbo premice, na kateri leži težiščnica tc, in izračunajte koordinati težišča T trikotnika ABC.
c) Izračunajte kot med tc in stranico a na stotinko stopinje natančno.
Izbrana: | Info
* 40. Dana je funkcija f(x) = x2.
a) V eksplicitni obliki zapišite enačbo tangente na graf funkcije f v točki T(2,f(2)).
b) Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f, abscisna os in premici x = 1 in x = 2.
c) Izračunajte, v kateri točki prvega kvadranta moramo narisati tangento na graf dane funkcije, da bo ploščina trikotnika, ki ga tangenta oklepa s koordinatnima osema, enaka 1.
Izbrana: | Info