Leto 1997
1. Izraz 36 1 3 32 0,25 3 2 81342 poenostavite do oblike mn, ( n,m ).
Izbrana: | Info
2. Ali točke B(7,4), C(21,10), D(84,37) ležijo na isti premici? Odgovor utemeljite.
Izbrana: | Info
3. V trapezu ABCD za osnovnici AB in CD velja AB : CD = 5 : 3, krak AD meri 4 cm. Nosilki krakov se sekata v točki S. Izračunaj dolžino daljice DS. Slika je obvezna.
Izbrana: | Info
4. Za katero kompleksno število z velja (2 + i)z z¯ = 3 5i?
Izbrana: | Info
5. Kvadrat ABCD ima stranico dolžine 2. Točka M deli stranico DC v razmerju DM : MC = 1 : 3. Izrazite vektor AM z vektorjema AB = a in AD = b ter izračunajte AM AB. Narišite sliko.
Izbrana: | Info
6. Katera točka na premici z enačbo y = x + 1 je najbližja točki A(3,0) ? Narišite sliko in izračunajte koordinati te točke.
Izbrana: | Info
7. Narišite graf funkcije f(x) = x1 x+2. Izračunajte kot, pod katerim ta graf seka abscisno os. Rezultat zaokrožite na stotinko stopinje.
Izbrana: | Info
8. Rešite enačbo 4x+24x 4x+1+8 = 3. Rešitev zapišite v obliki ulomka.
Izbrana: | Info
9. V posodi je 60% rdečih in 40% modrih bonbonov; 30% rdečih in 15% modrih bonbonov je čokoladnih. V posodi je 60 čokoladnih bonbonov. Izračunajte, koliko je vseh bonbonov.
Izbrana: | Info
10. Dana je funkcija f(x) = sin(x 2 + π 3 ). Narišite grafa funkcij f(x) in f(x) za x [3π,3π].
Izbrana: | Info
11. Točko A(1,0) zavrtimo po krožnici z enačbo x2 + y2 = 1 okoli koordinatnega izhodišča za kote:
a) 1860o
b) 43π 4
c) 25π 3
Zapišite točne vrednosti koordinat dobljenih točk A1,A2,A3.
Izbrana: | Info
12. Prostornina krogle meri 36πdm3. Presek te krogle z ravnino ima ploščino 5πdm2. Izračunajte razdaljo med središčem krogle in ravnino .
Izbrana: | Info
13. Določite vrednost realnih števil x in y, tako da bodo števila 2x + 2y, 5x + y 1, 4x + 5y 7, 7y x 1 zaporedni členi aritmetičnega zaporedja.
Izbrana: | Info
14. Janez je s svojimi petimi prijatelji odigral teniški turnir. Vsak je igral z vsakim natanko enkrat. Janez je izgubil le dve igri. (Neodločenih rezultatov pri tenisu ni.) Kolikšna je verjetnost, da izmed zapisnikov vseh iger na slepo izberemo zapisnik igre, v kateri je Janez zmagal?
Izbrana: | Info
* 15. Dani sta ravnini 2x + 3y z = 5 in 2x y + z = 1.
a) Izračunajte kot med danima ravninama.
b) Zapišite enačbo premice, v kateri se sekata ravnini, in se prepričajte, da gre ta premica skozi točko A(1,0,3).
c) Zapišite enačbo ravnine, ki je pravokotna na obe ravnini in gre skozi točko A(1,0,3).
Izbrana: | Info
* 16. Dana je funkcija f(x) = 1 3(x3 6x2 + 9x).
a) Izračunajte ekstrema in prevoj, ter narišite graf funkcije f.
b) Izračunajte ploščino območja, ki ga graf funkcije f oklepa z abscisno osjo.
c) Polinom p tretje stopnje ima lokalna ekstrema pri x1 = 1 in x2 = 3. Tangenta na graf polinoma p v točki (0,p(0)) ima enačbo y = 9x + 1. Določite p(x).
Izbrana: | Info
* 17. Naj bo V vsota doseženih točk pri metu dveh poštenih igralnih kock. Z A označimo dogodek, da je V 6, z B pa dogodek, da je število V deljivo s 5. Izračunajte verjetnosti:
a) P(A) in P(B),
b) P(A B) in P(A B),
c) P(B/A) in P(A/B).
Izbrana: | Info
* 18. V trapezu ABCD z osnovnico AB velja AB = 9 cm, CD = 3 cm, AD = 7 cm in kot BAD = α = 60o.
a) Narišite trapez ABCD in opišite postopek.
b) Izračunajte natančni dolžini diagonale AC in stranice BC trapeza ABCD. Narišite skico.
c) Srednjica trapeza ABCD seka diagonalo AC v točki P, diagonalo BD pa v točki Q. Dokažite, da je štirikotnik PQCD paralelogram. Pomagajte si s skico.
Izbrana: | Info
* 19. Dana je neskončna geometrijska vrsta 1 + sin2x + sin4x + ....
a) Za katere vrednosti števila x je ta vrsta konvergentna?
b) Za katere vrednosti števila x je vsota te vrste enaka 2?
c) Rešite enačbo tgx + tan2x = 2sin2x (1 + sin2x + sin4x + ...).
Izbrana: | Info
20. Krivulja je dana z enačbo y = x3 3x2 + 2x 2. Določite enačbo tiste njene tangente, ki je vzporedna premici z enačbo y = x.
Izbrana: | Info
21. Zapišite enačbo krožnice, ki poteka skozi točko A(8,5) in ima središče v točki S(4,0).
Izbrana: | Info
22. Izračunajte točno vrednost določenega integrala: 0 π 2 (sinx + 3cosx x)dx.
Izbrana: | Info
23. Stranice trikotnika ABC merijo a = 5 cm, b = 16 cm in c = 19 cm. Izračunajte največji kot tega trikotnika.
Izbrana: | Info
24. Dane so množice realnih števil: A ={x;x3 + x2 x 1 = 0}, B ={x;2x2 3x 5 = 0}, C ={x; x 3 x 2 + 5 12 = 0}. Zapišite množice A, B, C in (A B) C, in sicer tako, da navedete vse njihove elemente.
Izbrana: | Info
25. Rešite enačbo log(3 + 2log(1 + x)) = 0.
Izbrana: | Info
26. Dane so točke A(0,1,1), B(2,1,3) in C(3,1,0). Točka M razpolavlja daljico AB. Določite kot med vektorjema MB in MC.
Izbrana: | Info
27. Polinom tretje stopnje p(x) z realnimi koeficienti ima ničli x1 = 2 in x2 = i. Graf tega polinoma seka os y v točki T(0,2). Zapišite polinom p(x).
Izbrana: | Info
28. Dano je zaporedje s splošnim členom an = n + 1 n. Zapiši prve tri člene zaporedja. Ugotovite, kateri člen zaporedja je enak 10,1. Ali je zaporedje padajoče ali naraščajoče? Odgovor utemeljite.
Izbrana: | Info
29. Poenostavite izraz: a2a1b1+b2 a3+b3 : (a+b ab )2.
Izbrana: | Info
30. Koliko lihih naravnih števil, večjih od 1000 in manjših od 100000, ima v desetiškem zapisu vse števke (cifre) strogo manjše od pet?
Izbrana: | Info
31. Rešite neenačbo 2 x3 < 1.
Izbrana: | Info
32. Pravokotnik ima obseg 46 cm in ploščino 120 cm 2. Koliko meri diagonala?
Izbrana: | Info
* 33. Dana je kvadratna funkcija f(x) = 1 ax(x + a), pri kateri je a neničelno realno število.
a) Izračunajte kot med grafom funkcije f in abscisno osjo pri x = 0.
b) Narišite graf funkcije f za a = 4.
c) S parametrom a izrazite koordinati temena T in ploščino S trikotnika, ki jima oglišča v temenu in ničlah funkcije f. Pri katerih vrednostih parametra a je ploščina tega trikotnika enaka 32?
Izbrana: | Info
* 34. Kocka ABCDABCD ima oglišča A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A(0,0,1). Točke A, B, C in D ležijo nad A, B, C in D.
a) Zapišite koordinate oglišč B, C in D. Določite enačbo ravnine Σ skozi točki B, D in skozi razpolovišče T roba CC. Narišite skico.
b) Določite enačbo ravnine Π, ki vsebuje točko A in je vzporedna ravnini Σ.
c) Poiščite presečišča ravnine Π z robovi kocke in izračunajte ploščino preseka kocke s to ravnino.
Izbrana: | Info
* 35. Urban ima v levem žepu 4 modre in 4 rdeče frnikole, v desnem pa 5 modrih in 3 rdeče. Najprej vrže kovanec. Če pade številka, na slepo izbere 2 frnikoli iz levega žepa, sicer izbere na slepo 2 frnikoli iz desnega žepa.
a) Kolikšna je verjetnost dogodka A, da sta obe tako izbrani frnikoli modri?
b) Obe frnikoli, ki ju je Urban izbral na opisani način sta bili modri. Kolikšna je verjetnost, da je pred tem na kovancu padla številka?
c) Kolikšna je verjetnost dogodka C, da se je Urbanu v petih zaporednih opisanih poskusih natanko dvakrat zgodi naslednje: pri metu kovanca pade številka in po tem izvleče dve modri frnikoli?
Izbrana: | Info
* 36. Dano je kompleksno število w = 1 2(1 + i).
a) Izračunajte τ = i w + w i + w¯.
b) V kompleksni ravnini ponazorite števila z, za katere velja (2 z 5) (Rez 1) (Imz < 3).
c) V polarni obliki zapišite število w¯2 in rešite enačbo 4z3 = w¯2. Rešitve ponazori v kompleksni ravnini.
Izbrana: | Info
* 37. Naj bo f(x) = x 3 in g(x) = 1 f(x).
a) Izračunajte presečišča grafov funkcij f in g.
b) Zapišite definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije g. Narišite grafa funkcij f in g v isti koordinatni sistem.
c) Izračunajte ploščino omejenega lika, ki ga oklepata grafa funkcij f in g.
Izbrana: | Info
38. Števili x in y sta v razmerju 5 : 4. Če x zmanjšamo za 6%, y pa povečamo za 6, je dobljeno prvo število za 15 večje od dobljenega drugega števila. Izračunajte števili x in y.
Izbrana: | Info
39. Na realni osi so dani intervali A = [1,7], B = [2,5] in C = (3,10). V obliki intervala zapišite množice E = A C, F = A (B C) in G = (A B) C.
Izbrana: | Info
40. Krogu s polmerom r = 6 cm je včrtan pravilni petkotnik. Koliko merita notranji kot α in stranica a tega petkotnika? Dolžino stranice izračunajte na dve decimalni mesti.
Izbrana: | Info
41. Notranji koti trikotnika ABC so v razmerju α : β : γ = 3 : 4 : 5. Izračunajte kote α, β, γ in kot δ med stranico BC in višino na AB.
Izbrana: | Info
42. Rešite enačbo 2x(x2) 4x2 0,5x+2 = 1.
Izbrana: | Info
43. Rešite enačbo 1 + 3cosx = cos2x.
Izbrana: | Info
44. Narišite graf funkcije    f(x) = x+1 x2+2x3   in zapišite presečišči grafa s koordinatnima osema, pola in vodoravno asimptoto.
Izbrana: | Info
45. Krožnica ima središče v desnem gorišču elipse x2 25 + y2 9 = 1 in se dotika ordinatne osi. Zapišite enačbo te krožnice.
Izbrana: | Info
46. V aritmetičnem zaporedju je tretji člen enak 15, šesti člen pa je polovica četrtega. Zapišite splošni člen opisanega zaporedja.
Izbrana: | Info
47. Kupili smo šest na pogled popolnoma enakih sadik novogvinejskih vodenk. Vemo, da bo vsaka cvetela v drugačni barvi. Med njimi bo ena cvetela rdeče in ena vijoličasto. Sadike posadimo v dva zabojčka, v vsakega po tri. Kolikšna je verjetnost, da bosta rdeča in vijoličasta vodenka v istem zabojčku?
Izbrana: | Info
48. Dolžina vektorja a je enaka sedem, dolžina vektorja b pa osem enot. Vektorja a in b oklepata kot 60o. Izračunajte kot med vektorjema a in a + b. Rezultat izrazite v stopinjah in minutah.
Izbrana: | Info
49. Dana je funkcija f(x) = 2 x2+1. Izračunajte ploščino omejenega lika, ki ga oklepata premica y = 1 in graf dane funkcije.
Izbrana: | Info
50. Z računom pokažite, da je funkcija f(x) = 1 3x3 2x2 + 5x 6 naraščajoča.
Izbrana: | Info
51. Zapišite vsa kompleksna števila z, za katera velja z2 = z¯.
Izbrana: | Info
* 52. Podmnožica M 2 je sestavljena iz vseh točk (x,y) × , ki zadoščajo pogojema x 4 in y 4.
a) Aleš naključno izbere eno samo točko iz M. Izračunajte verjetnost dogodka A1, da je produkt obeh koordinat izbrane točke sodo število, in verjetnost dogodka A2, da je izbrana točka oddaljena od izhodišča koordinatnega sistema vsaj 4.
b) Bojan naključno izbere dve različni točki iz M. Izračunajte verjetnost dogodka B1, da je razdalja med izbranima točkama enaka 1, in verjetnost dogodka B2, da je razdalja med izbranima točkama enaka 2.
c) Cvetka naključno izbere tri različne točke iz M. Izračunajte verjetnost dogodka C, da ležijo izbrane točke na skupni premici.
Izbrana: | Info
* 53. Dani sta krivulji y = 1 x in y = kx2, ki se sekata v točki P z absciso 1 2.
a) Določite vrednost konstante k in izračunajte kot med krivuljama v točki P.
b) Narišite lik L, ki ga omejujejo: krivulji y = 1 x, y = x2, abscisna os in premica x = 2. Izračunajte njegovo ploščino.
c) Izračunajte prostornino vrtenine, ki jo dobimo z vrtenjem lika L okoli osi x.
Izbrana: | Info
* 54. Dane so točke A(4,1,1), B(3,3,1) in C(0,1,2) ter ravnina Π : x y + 2z + 5 = 0.
a) Točko D določite tako, da bo ABCD paralelogram (s stranicama AB in BC ). Izračunajte ploščino tega paralelograma.
b) Zapišite enačbo ravnine Σ, ki jo določajo dane točke. Kolikšen kot oklepata ravnini Σ in Π ? Rezultat zaokrožite na stotinko stopinje.
c) Zapišite koordinate točke E, ki jo dobimo, če prezrcalimo točko A čez ravnino Π.
Izbrana: | Info
* 55. Premica z enačbo x y 8 = 0 seka os y v točki A, os x pa v točki B. Premica z enačbo x y 4 = 0 seka os x v točki C in os y v točki D.
a) Utemeljite, da je štirikotnik ABCD trapez. Izračunajte njegovo ploščino. Slika je obvezna.
b) Izračunajte koordinati presečišča diagonal trapeza ABCD.
c) Zapišite enačbo krožnice K, ki je očrtana trapezu ABCD.
Izbrana: | Info
* 56. Dano je neskončno geometrijsko zaporedje sinx, sin2x,...
a) Izračunajte kvocient tega zaporedja. Pokažite, da ne obstaja tako število x (0,π), da bi bil sin3x tretji člen tega zaporedja.
b) Poiščite vsa števila x (0,π), za katera je sin4x tretji člen tega zaporedja. 8t.
c) Ugotovite, za katere vrednosti števila x (0,π) to zaporedje konvergira, in izračunajte njegovo limito.
Izbrana: | Info