Leto 1998
1. Rešite enačbo 2sin x 2 + 1 = 0.
Izbrana: | Info
2. Izračunajte nedoločeni integral (xx 3 x2 )dx.
Izbrana: | Info
3. Izračunajte vse stacionarne točke funkcije f(x) = x2 x1. V kateri točki ima funkcija f lokalni maksimum?
Izbrana: | Info
4. Rešite enačbo logx(2x + 3) = 2.
Izbrana: | Info
5. Izračunajte, v katerih točkah se sekata graf funkcije f(x) = 2x3 + x2 x + 1 in premica y x 2 = 0.
Izbrana: | Info
6. Število (2 2)7 zapišite v obliki m + n2, kjer sta m in n celi števili.
Izbrana: | Info
7. Rešite sistem enačb:
2x + 5y z = 6
x y 2z = 2
3x y + 5z = 9.
Izbrana: | Info
8. Premica 3x 4y 12 = 0 poteka skozi dve temeni elipse (v središčni legi). Napišite enačbo te elipse in koordinate njenih gorišč.
Izbrana: | Info
9. Poiščite vsa kompleksna števila z, za katera velja z + z2 = 1 + i.
Izbrana: | Info
10. Velikosti notranjih kotov trikotnika so sosednji členi aritmetičnega zaporedja. Najmanjši kot meri 30o, najmanjša stranica pa 5 cm. Izračunajte, koliko merita največji kot in najdaljša stranica tega trikotnika.
Izbrana: | Info
11. Na ravnini so dane premica p in točki A,B, ki ležita na istem bregu premice. Točki A in B sta oddaljeni 21 cm od premice p, njuna medsebojna razdalja pa meri 28 cm. Najprej prezrcalimo točko A čez premico p v točko A, nato pa A prezrcalimo čez točko B v točko C. Izračunajte oddaljenost d1 točke C od premice p in razdaljo d2 med točkama A in C. Skica je obvezna.
Izbrana: | Info
12. Dolžina vektorja a je 24, dolžina vektorja b je 18, dolžina razlike a b pa je 10 enot. Izračunajte dolžino vektorja a+ b. Rezultat naj bo točen.
Izbrana: | Info
13. Naj bo P množica vseh petmestnih naravnih števil. Izračunajte, koliko elementov imajo množice A ={n P;30 n}, B ={n P;6 n in 8 n} in C = A B.
Izbrana: | Info
* 14. Dano je zaporedje s splošnim členom an = log2(1 + 2 n).
a) Dokažite, da je zaporedje padajoče.
b) Izračunajte limito tega zaporedja in ugotovite, kateri členi ležijo v ε -okolici limite, za ε = 0,01.
c) S popolno indukcijo dokažite, da je vsota prvih n členov enaka Sn = log2(n+1)(n+2) 2 .
Izbrana: | Info
* 15. Ravnina Σ : 3x + 4y + 12z = 60 seka os x v točki A, os y v točki B in os z v točki C. Točke A, B, C in koordinatno izhodišče O so oglišča tristrane piramide.
a) Izračunajte koordinate točk A, B in C.
b) Izračunajte površino te piramide
c) Izračunajte kot, ki ga oklepata ploskvi ABC in OAB. Rezultat zaokrožite na stotinko stopinje.
Izbrana: | Info
* 16. Dana je funkcija f(x) = xx 2.
a) Natančno narišite njen graf.
b) Zapišite enačbo tangente na graf funkcije f v točki T(0,f(0)).
c) Izračunajte ploščino lika med grafom funkcije f in tangento nanj v točki T(0,f(0)).
Izbrana: | Info
* 17. Stožnici sekata abscisno os pri x = 5 10 in imata gorišči v točkah (2,2) in (8,2).
a) Določite središče, ekscentričnost e in skicirajte stožnici, ki zadoščata pogojem.
b) Stožnici, ki ustrezata danim pogojem, zapišite v obliki (xp)2 a2 ± (yq)2 b2 = 1.
c) Izračunajte vsa presečišča med dobljenima stožnicama.
Izbrana: | Info
* 18. Premici y = 3x in y = 8 x se sekata v točki N.
a) Izračunajte ploščino trikotnika OMN, ki ga oklepata premici z osjo x.
b) Zapišite enačbo temu trikotniku očrtane krožnice. Koliko meri njen polmer?
c) Trikotniku OMN včrtamo pravokotnik ABCD. Stranica AB leži na osi x. Določite koordinati točke A, tako da bo ploščina pravokotnika največja.
Izbrana: | Info
19. Izračunajte natančno vrednost izraza (2 3)2 + 0,25 1 2 (23 1).
Izbrana: | Info
20. Imenovalec ulomka je za 3 večji od števca. Če števec in imenovalec povečamo za 1, ulomek dobi vrednost 2 3. Izračunajte, kateri ulomek je to.
Izbrana: | Info
21. Narišite graf funkcije f(x) = 4x2 + 4x 3. Izračunajte ničli in ekstrem te funkcije.
Izbrana: | Info
22. Narišite graf funkcije f(x) = 2 x1 in zapišite enačbo njene vodoravne asimptote.
Izbrana: | Info
23. Rešite enačbo log2x = 2 log2(x 3).
Izbrana: | Info
24. Imamo točko A(1 2,1, 1 3). Točka M(1,2, 1 2) je razpolovišče daljice AB. Izračunajte koordinate točke B.
Izbrana: | Info
25. Elipso z enačbo x2 + 4y2 = 4 zavrtimo za 90o okrog izhodišča. Zapišite enačbo dobljene elipse in njeni gorišči.
Izbrana: | Info
26. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta premica y = 1 in parabola y = x2 1. Rezultat naj bo točen. Skica je obvezna.
Izbrana: | Info
27. V aritmetičnem zaporedju je prvi člen enak 2, n ti člen je enak 302, vsota prvih n členov pa je enaka 15352. Izračunajte število n in diferenco d tega zaporedja.
Izbrana: | Info
28. Janez ima na izbiro naslednja enobarvna oblačila: 4 srajce, 3 kravate in troje hlač. Srajce so: modra, rdeča, zelena in rumena, kravate so: modra, rdeča in zelena, prav takih barv so tudi hlače. Janez na slepo izbere srajco, kravato in ene hlače. Kolikšna je verjetnost, da je izbral oblačila enakih barv?
Izbrana: | Info
29. Izračunajte ničlo, stacionarni točki, minimum, maksimum in asimptoto funkcije f(x) = 12x x2+9.
Izbrana: | Info
30. Dani sta premici z enačbama 2x 3y + 1 = 0 in ax + 2y 2 = 0. Za katere vrednosti števila a sta premici vzporedni in za katere vrednosti sta pravokotni?
Izbrana: | Info
31. Rešite enačbo 2sinx = cos(π 6 x).
Izbrana: | Info
32. V trikotniku ABC merijo AB = c = 9 cm, AC = b = 12 cm, β = 2γ. Izračunajte kot γ in rezultat zaokrožite na stotinko stopinje.
Izbrana: | Info
* 33. V prostoru imamo točke A(3,1,1), B(1,1,3) in C(1,3,1).
a) Določite enačbo ravnine Π, ki je pravokotna na daljico AC in gre skozi razpolovišče daljice AC, in enačbo ravnine Φ, ki vsebuje vse točke, enako oddaljene od A in B.
b) Napišite vektorsko obliko enačbe presečne premice p ravnin Φ in Π.
c) Poiščite vse točke T, ki so za 11 oddaljene od vsake od točk A, B, C.
Izbrana: | Info
* 34. Dane so točke A(4,3), B(6,1) in T(1,4). Točki A in B sta krajišči premera krožnice K.
a) Zapišite enačbo krožnice K.
b) V dani koordinatni sistem narišite krožnico K. Konstruirajte tisti tangenti na K, ki potekata skozi točko T. Opišite potek konstrukcije tangent.
c) Natančno izračunajte ploščino štirikotnika, katerega dve oglišči sta središče krožnice K in točka T, preostali dve oglišči pa sta dotikališči tangent. Kolikšen delež kroga leži znotraj štirikotnika? Rezultat zaokroži na dve mesti.
Izbrana: | Info
* 35. Dano je kompleksno število z = 2 2 + i2 + 2. Brez uporabe računalnika:
a) izračunajte števili z2 in z4. Rezultat poenostavite;
b) zapišite števili z2 in z4 v polarni obliki;
c) izrazite število z v polarni obliki in dokažite, da je cos 5π 8 = 22 2 .
Izbrana: | Info
* 36. Dan je polinom p(x) = ax3 + 3x2 + 3x + b.
a) Za a = b = 1 izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta obe koordinatni osi in graf polinoma p(x).
b) Določite realni števili a in b tako, da bo imel polinom p(x) pri x = 1 stacionarno točko, pri x = 2 pa ničlo.
c) Določite realni števili a in b tako, da bo premica y = 3x + 5 tangenta grafa polinoma p(x) v točki T(1,2).
Izbrana: | Info
* 37. Rešite naslednje tri naloge iz teorije množic:
a) dani sta množici A ={1,2,3} in B ={3,4}. Zapišite množici B × (A B) in (A B) × (A B) tako, da zapišete vse njune elemente.
b) Množica M ima natanko 16 podmnožic, med njimi tudi podmnožici {e,i,u} in {a,e}. Zapišite množico M in vse njene podmnožice z močjo 3.
c) Množica V ={n ,1 n 10} ima podmnožico W ={8,9,10}. Izračunajte, koliko podmnožic množice V vsebuje množico W in koliko podmnožic množice V ima z W neprazen presek.
Izbrana: | Info