Gimnazija Bežigrad
1. a) Iz množice funkcij y = x2 + (1 λ)(x λ) + λ2 izberi tisti dve, katerih grafa sekata os y v točki T(0,1).
b) Določi obema funkcijama ekstremni vrednosti in ju načrtaj.
c) Izračunaj ploščino lika, ki ga os x odreže od obeh krivulj.
Izbrana: | Info
2. Elipsa x2 50 + y2 18 = 1 in enakoosna hiperbola imata isti gorišči.
a) Določi enačbo hiperbole in enačbe tangent na elipso in hiperbolo v presečiščih.
b) Izračunaj kote, stranice in ploščino romba, ki ga tvorijo tangente na elipso pod točko a).
c) Manjši del elipsne ploskve, ki ga od elipse odreže desna veja hiperbole, zavrti okoli osi x in izračunaj prostornino vrtenine.
Izbrana: | Info
3. Krogu s polmerom r je včrtan trikotnik ABC s kotoma α in β. Razpolovišča lokov, ki pripadajo stranicam trikotnika, so oglišča drugega trikotnika ( A1B1C1 ).
a) Izračunaj stranice in ploščino trikotnika ABC.
b) Dokaži da so koti trikotnika A1B1C1 aritmetične sredine po dveh kotov trikotnika ABC.
c) Izračunaj razmerje ploščin obeh trikotnikov ter izraz okrajšaj, kolikor je največ mogoče. (Poseben primer: r = 12,5 ; α = 60o ; β = 50o ).
Izbrana: | Info
4. Reši enačbo : log2 4 2 x > 1.
Izbrana: | Info
5. Odbor društva, sestavljen iz 6 moških in 4 žensk, mora formirati tričlansko komisijo, v kateri mora biti vsaj ena ženska, en moški in ena ženska pa ne moreta biti člana komisije. Na koliko načinov je mogoče izbrati komisijo?
Izbrana: | Info
6. Določi limito vrste 1 13 + 1 35 + 1 57 + + 1 (2n1)(2n+1) + !
Izbrana: | Info
7. Kakšna je zveza med stranicami trikotnika, če velja med koti zveza tgα tgβ + tgα tgγ=tgβ tgγ? Izrazi še dolžino težiščnice na stranico a s parametrom a!
Izbrana: | Info
8. Skozi točko M(3,2,3) položi premico, ki je vzporedna vektorju s = (2,1,3). V kateri točki in v kolikšnem kotu preseka ta premica ravnino, ki odreže na koordinatnih oseh odseke: 2 na osi x, -3 na osi y in 6 na osi z.
Izbrana: | Info
9. Načrtaj graf funkcije f(x), če je f(x) = x24 x1 in izračunaj prostornino vrtenine, ki nastane, ko zavrtiš krivuljo f(x) v intervalu 2 do 4 okrog osi x za 360o. Določi tudi enačbo tangente na krivuljo f(x) v točki T(4,y) in ugotovi ali ima krivulja kako tangento, ki je izračunani vzporedna.
Izbrana: | Info
10. Razcepna algebrska funkcija y4 + (x2 6x 16)y2 6x3 + 96x = 0 določa dve stožnici. Izračunaj ploščino manjšega od obeh likov, ki jih določata loka krivulj med presečiščema.
Izbrana: | Info
11. Reši enačbo x2 x 2 = 2x2 + 3x + 1 grafično in algebrsko!
Izbrana: | Info
12. Točke A(2,3,0), B(0,2,3) in C(4,2,6) so oglišča osnovne ploskve, točka V (8,13,11) pa vrh piramide. Določi enačbo ravnine, na kateri stoji piramida, nožišče višine na tej ravnini in naklonski kot roba AV¯ proti osnovni ploskvi.
Izbrana: | Info
13. Faktoriziraj izraz sin2 π 8 + x sin2 π 8 x in izračunaj njegovo vrednost za x = π 12.
Izbrana: | Info
14. Reši sistem enačb
9y2 + 4x2 18y 24x + 9 = 0
2x2 + xy 3y2 3x + 3y = 0 grafično in preveri rezultat računsko!
Izbrana: | Info
15. Če potenco (x + y)n razvijemo, dobimo drugi člen 18, tretji člen 135, četrti člen pa 540. Izračunaj x, y in n, ki so naravna števila.
Izbrana: | Info
16. Določi limito vrste 1 25 + 1 58 + 1 811 + + 1 (3n1)(3n+2) + !
Izbrana: | Info
17. Določi prostornino telesa, ki nastane, ko se krivulja (x 4)y2 x2 + 3x = 0 med presečiščema z osjo x zavrti okrog osi x za 360o.
Izbrana: | Info
18. Reši enačbo ytgx = 3y 1 pri pogoju, da je y = 2 pri x = π 2 .
Izbrana: | Info
19. Določi asimptoto in ekstreme ter načrtaj graf funkcije y = x2+8 x . Izračunaj prostornino vrtenine, ki nastane, če vrtiš del krivulje od minimuma do točke z absciso 62 okoli osi x.
Izbrana: | Info
20. Katera točka elipse x2 + 4y2 = 16 je premici 2x + 3y 12 = 0 najbližja in kolika je ta razdalja? (Nariši skico!)
Izbrana: | Info
21. Položi skozi osnovni rob a pravilne tristrane prizme ravnino tako, da odseka od prizme piramido s prostornino V . Izračunaj kot med ravnino z osnovno ploskvijo in površino piramide. ( a = 6 dm, V = 30 dm 3)
Izbrana: | Info
22. Reši sistem enačb
2y2 7xy + 3x2 = 0
x2 + y2 6x 8y = 0 računsko in grafično!
Izbrana: | Info
23. Dokaži: i1+i3+i5++i1001 i2+i4+i6++i998 = i.
Izbrana: | Info
24. Reši grafično sistem neenačb: x2 + 2x > 0,x2 4x + 3 > 0
Izbrana: | Info
25. Izračunaj prostornino telesa, ki nastane, če se del krivulje y = x + ex od x = 1 do x = 1 zavrti okoli osi x.
Izbrana: | Info
26. Za trikotnik ABC velja a2 + b2 = 4, a2 b2 = 2, b : c = 1 : 2. Izračunaj stranice, kote, polmer včrtanega in polmer očrtanega kroga.
Izbrana: | Info
27. Koliko meri skupna tetiva krivulj x2 + y2 8y + 3 = 0 in x2 + 4y2 8 = 0?
Izbrana: | Info
28. Krogli včrtaj z radijem R = 1 dm pokončni stožec z največjo prostornino! Koliko meri njegova višina?
Izbrana: | Info
29. Nariši grafa funkcij f(x) = 1 2 x + 1 x in g(x) = 1 6 x + 7! V katerih točkah ima f(x) ekstreme vrednosti? Izračunaj ploskev, ki jo oklepata grafa obeh funkcij!
Izbrana: | Info
30. Dana je vrsta: 1 7x+1 + 1 (7x+1)2 + 1 (7x+1)3 + . Dokaži, da konvergira! Določi x tako, da bo njena vsota 7!
Izbrana: | Info
31. Dana je kvadratna funkcija y = x2 2xcosα + 1 sinα ( 0 α π 2 ). Pri katerem α se graf funkcije dotika osi x? Za ta α nariši graf!
Izbrana: | Info
32. Razreši enakokraki trikotnik ABC ( AC = BC ), če poznaš kot α in vsoto višin va + vc = s. Poseben primer: α = 67o30,s = 12 cm.
Izbrana: | Info
33. Presekaj pokončni stožec, ki ima ob vrhu osnega preseka kot 2γ z ravnino, ki je vzporedna osnovni ploskvi in razpolavlja višino. Izračunaj višino stožca in polmer osnovne ploskve, če poznaš volumen prisekanega stožca V p. Posebej za: V p = 70 cm 3 , 2γ = 70o20!
Izbrana: | Info
34. Iz katere točke na simetrali daljice AB ( A(4,1),B(0,1) ) vidiš dano daljico pod pravim kotom?
Izbrana: | Info
35. Opiši funkcijo y3 x3y2 + (x2 10)y + 10x3 x5 = 0 in načrtaj njen graf!
Izbrana: | Info
36. Reši enačbo tg3xtgx = 4sinx
35. Kakšna je zveza med koti trikotnika, če je med stranicami zveza a2 = b2 + bc?
Izbrana: | Info
37. Iz točke P(5,2,3) postavi pravokotnico na ravnino x 2y + 3z = 18. V kateri točki in v kolikšnem kotu preseka pravokotnica ravnino, ki je vzporedna začetni ravnini in gre skozi točko A(6,1,4)?
Izbrana: | Info
38. Izračunaj limiti:
a) x 0 sin ax x+bb
b) x x3 x x 2
Izbrana: | Info
39. Ali ima funkcija f(x) = x22x+3 x+1 kako stacionarno točko? Načrtaj njen graf! Določi enačbo tangente v točki T(5,y)! Ali ima krivulja še kako tangento, ki je vzporedna izračunani? Izračunaj ploščino lika, ki je omejen od osi x, pozitivnega poltraka osi y in desne veje krivulje!
Izbrana: | Info
40. Iz elipse izreži ploščinsko največji pravokotnik, katerega stranice so vzporedne osem elipse. Nato izračunaj prostornino telesa, ki ga dobiš, ko zavrtiš lik med elipso in pravokotnikom okoli osi x.
Izbrana: | Info
41. Dana je funkcija f(x) = x22x+1 x2+1 . Prouči jo in nariši njen graf! Izračunaj ploščino lika, omejenega s koordinatnima osema in grafom f(x)!
Izbrana: | Info
42. Določi kot, ki ga krožnica, ki ima središče v gorišču parabole y2 = 8x in polmer enak parametru parabole p, tvori s parabolo! Določi prostornino telesa, ki nastane z vrtenjem tistega lika med parabolo in krožnico, ki vsebuje gorišče parabole, okrog abcisne osi!
Izbrana: | Info
43. Trikotnik je določen s podatki: c, a b = d, α = 3β. Izračunaj kot β in dokaži, da je a = dc2d2 c22d2 in b = d2 c22d2 !
Izbrana: | Info
44. V trapezu ABCD sta osnovnici AB in DC in velja DC = 3 5AB. Naj bo E razpolovišce AB in F na DC tako, da velja DF : DC = 1 : 3. Naj bo H = AC ED in G = AB ED. Izračunaj EH : ED in EH : HG : GD!
Izbrana: | Info
45. V trikotniku ABC je a : b = 13 : 1, c = 163 cm in α = 30o. Izračunaj a in b! Izračunaj prostornino in površino telesa, ki nastane z vrtenjem trikotnika okrog stranice c!
Izbrana: | Info
46. Določi x -ti člen v geometrijskem zaporedju, če so prvi trije členi 11 xlog x,xlog x,35 xlog x!
Izbrana: | Info
47. Izračunaj vsoto n členov zaporedja, ki ima za splošni člen: ak = 4k k2 + 1 6k2 + 1
Izbrana: | Info
48. Kroglo osvetljuje točkasto svetilo, ki ima središčno razdaljo enako trikratnemu polmeru krogle. Kolikšen del krogle je osvetljen?
Izbrana: | Info
49. Izračunaj vrednosti izraza (a + i)n (a i)n, če je a = ctg kπ n in je k = 1,2,3,,n 1!
Izbrana: | Info
50. V točki T1(3,y1) krivulje y = 2 x1 položi tangento in normalo! Določi njuni enačbi! V kateri točki normala drugič seka krivuljo? Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepa krivulja z osjo x v intervalu od 2 do 5!
Izbrana: | Info
51. Algebrska funkcija xy3 x2y2 + (x 2)y x2 + 2x = 0 je razcepna v dve funkciji. Nariši graf funkcije! Zavrti okoli osi x lik, ki ga oblikujejo os x in obe krivulji v intervalu (0,2) in izračunaj prostornino rotacijskega telesa!
Izbrana: | Info
52. Izračunaj izraz (A B) (B A) (A B) z algebrsko množico ali z Boolovo algebro! Reši nalogo najprej z ustrezno sliko!
Izbrana: | Info
53. Kakšna je zveza med stranicami a, b in c trikotnika, če velja: tg β tgγ = 2 sin2α?
Izbrana: | Info